TRANSFORMADA DE LAPLACE

UNIVERSIDAD LAICA "ELOY ALFARO" DE MANABI

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

INTEGRANTES:

• CEDEÑO CHAVEZ MARLON ANTONIO
• GARCIA ALVIA LUIS FERNANDO
• PINCAY VIVAR RENSO WLADIMIR

TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Es una de las herramientas más utilizadas en ingeniería para resolver problemas procedentes de campos tan distintos como pueden ser la Teoría de Circuitos, la Elasticidad Lineal, la Transmisión de Calor o la Propagación de Ondas, la transformada de LAPLACE fue introducida por el matemático francés Pierre Simon Laplace en 1782.

Definición.

• Dada f: [0, +∞] → C, se define formalmente la transformada de Laplace de f como la función de variable compleja:
• 
  
• Sea f(t) una función continua en [0, ∞]. La transformada de Laplace de f(t) es la función f(s) definida mediante la integral:

Donde la integral anterior se entiende en el sentido de Riemann impropio, es decir:

El dominio de la función L(f) es el conjunto de números complejos z para los que la integral anterior es convergente. Dicho conjunto se denomina dominio de la transformada de Laplace y lo denotaremos por D (L(f)). Evidentemente, se dice que f es transformable Laplace si D (L(f))≠ ∅.

Es importante averiguar qué funciones tienen transformada de Laplace, es decir, hemos de dar un criterio sencillo de comprobar que nos permita saber si una determinada función tiene transformada de Laplace o si no la tiene. Para este fin daremos, en primer lugar, la siguiente definición:

Sea γ ∈ R. Se dice que la función f : [0, +∞[ → C tiene crecimiento exponencial de orden γ en infinito si existe una constante M > 0 de modo que:

Denotaremos por Eγ al conjunto de las funciones f : [0, +∞[ → C que son continuas a trozos y con crecimiento exponencial de orden γ en infinito. Por continua a trozos entenderemos que en cada intervalo compacto [0, b] , con b > 0, f es continua salvo a la suma en un número finito de puntos, y además las discontinuidades en dichos puntos son de salto finito.

El resultado que sigue nos proporciona un criterio sencillo de comprobar y que nos permite averiguar qué funciones son transformables Laplace:

Sea f ∈ Eγ para algún γ ∈ R. Entonces existe la transformada de Laplace de f y ésta está definida en el conjunto:

Modelo matemático.

La idea básica del uso de las transformadas integrales consiste en lo siguiente: supongamos que estamos estudiando un determinado fenómeno físico que describimos por medio de un modelo matemático. Dicho modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno. El problema consiste en resolver dicho modelo matemático, es decir, resolver una ecuación diferencial. Es ahora cuando intervienen las transformadas integrales, en particular la transformada de Laplace, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación (algebraica o también diferencial), la cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida. De esta forma transformamos nuestro problema original complicado en un problema más sencillo. Resolvemos el problema transformado y luego calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con la esperanza, claro está, de que esta solución inversamente transformada sea la solución de nuestro problema original. En bastantes casos, esta esperanza se convierte en realidad y conseguimos, por este procedimiento, resolver nuestro problema original. Esquemáticamente, lo que estamos diciendo se puede resumir en algo así como:

PROPIEDADES DE LA TRANFORMADA DE LAPLACE 

1. Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

Dada dos funciones f(t), g(t) , se requiere determinar la transformada de la suma de estas funciones, la propiedad de linealidad de la transformada define a la trasformada de la suma de funciones como la suma de sus transformadas, ilustrada de la forma siguiente:

       2. Propiedad de traslación en s : Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo.

Si la transformada de Laplace L{f(t)}=F(s) existe para s>α entonces:

• Demostración: De la definición se sabe que:

la cual es válida para s > a.

      3.- Transformada de Laplace de la derivada

La transformada de la derivada primera de una función es igual a la transformada de la función sin derivar multiplicad por s, menos el valor de la función sin derivar para t=0:

4.-Propiedad de multiplicación por

Sea una función f(t) seccionalmente continua y diferenciable en el intervalo [0, ∞] ; entonces su trasformada de Laplace es también diferenciable y por lo tanto,

La demostración de este teorema es muy sencilla, bastará con derivar la función F(s) usando la definición de la transformada de Laplace e intercambiando el orden de integración y derivación.


5.-TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL

La transformada de la integral de una función es igual a la transformada de la función dividida por s más el valor acumulado por la integral para t=0, también dividida por s:

Se puede demostrar aplicando la trasformada de la derivada, ecuación , considerando que f (t)] es la integral de f’(t) y cambiando la nomenclatura por el orden superior de integración.

6.-Propiedad de escalamiento en el tiempo

Una función está escalada en el tiempo y está definida por f(αt) de tal manera que su transformada

7.- Teorema del valor inicial : Nos indica las condiciones iniciales.

Sea f(t) una función seccionalmente continúa en el intervalo [0, ∞] , y cuya transformada F(t) existe. Entonces podemos conocer su condición inicial en t = 0 mediante la propiedad:

8.- Teorema del valor final: Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta.

Sea una f(t) función seccionalmente continúa en el intervalo [0, ∞] con transformada F(s) . Entonces podemos conocer f(∞) por la relación:

9.- Teorema de integración real

Si f (t) es de orden exponencial, entonces existe la transformada de f (t) y esta dada por

                                 

APLICACIÓN:

Una herramienta comúnmente usada en el diseño de control clásico es la transformada de Laplace, ya que en el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo, esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere:

• Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas o eléctricas
•  A la ecuación diferencial se le llama modelo del proceso
• Una vez que se obtiene el modelo, se diseña el controlador

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se tiene un proceso como el mostrado en la figura. el flujo de entrada cambio repentinamente de 5m3/min a 15m3/min

cual es la altura final del tanque una ves que alcanzo la estabilización

Por que es importante controlar un proceso?

• Incrementa la productividad
• Seguridad
• Mejorar la calidad
• Reducir el tiempo de manufactura
• Certificación en mercados internacionales

Por que usamos la transformada laplace?

• Es necesario considerar modelos dinámicos (comportamientos variables respecto al tiempo).

Esto tiene como efecto el uso de ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo.

• La trasformada laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante latransformación en ecuaciones algebraicas. 
• Cuando ya estudiamos el comportamiento podemos diseñar y analizar los sistemas de control.

WEBGRAFIA.

http://filemon.upct.es/~fperiago/apuntes_docencia/tema8.pdf

http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Marianela%20De%20Benedictis.pdf

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm

http://filemon.upct.es/~fperiago/apuntes_docencia/tema8.pdf

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm

MEDICIÓN DE CAUDAL

INSTRUMENTO DE MEDICIÓN DE CAUDAL

AUTORES:

• GARCIA ALVIA LUIS FERNANDO

• CEDEÑO CHAVEZ MARLON

• PINCAY VIVAR  RENSO

Introducción


La selección eficaz de un medidor de caudal exige un conocimiento práctico de la tecnología del medidor, además de un profundo conocimiento del proceso y del fluido que se quiere medir. Cuando la medida del caudal se utiliza con el propósito de facturar un consumo, deberá ser lo más precisa posible, teniendo en cuenta el valor económico del fluido que pasa a través del medidor, y la legislación obligatoria aplicable en cada caso.

En este estudio se examinan los conceptos básicos de la medida de caudal y las características de los instrumentos de medida. Entré los principales medidores que se estudian se citan, en primer lugar, los medidores de presión diferencial. Después se estudian los medidores con accionamiento mecánico, es decir, los medidores de desplazamiento positivo y los medidores de tipo turbina, para finalizar con los medidores de caudal de tipo electromagnético y los medidores de tipo ultrasónico. Aquí se clasifican y describen sucintamente los dispositivos más utilizados para la medida de caudales que circula por una conducción, que en realidad se basan en la medida de velocidades por las que el fluido circula por una conducción. En la mayoría de estos instrumentos, el caudal se calcula de forma indirecta mediante el cálculo directo de la diferencia de presión que se produce en el mismo.

Existen instrumentos que miden la velocidad local en un punto de la conducción, y equipos que miden la velocidad media a su paso por una sección

¿Qué es el caudal? 

El caudal de agua es el volumen, por ejemplo la cantidad de litros, que pasa por una sección específica de la quebrada, río o arroyo en un tiempo determinado, por ejemplo segundos

CLASIFICACION DE LOS DIFERENTES MECANISMOS O INSTRUMENTOS DE MEDICION DE CAUDAL 

• Caudalímetro.

Un caudalímetro es un instrumento de medida para la medición de caudal o gasto volumétrico de un fluido o para la medición del gasto másico. Estos aparatos suelen colocarse en línea con la tubería que transporta el fluido. También suelen llamarse medidores de caudal, medidores de flujo o flujómetros.

Existen versiones mecánicas y eléctricas. Un ejemplo de caudalímetro eléctrico lo podemos encontrar en los calentadores de agua de paso que lo utilizan para determinar el caudal que está circulando o en las lavadoras para llenar su tanque a diferentes niveles.

MECÁNICOS.

 

Instrumentos de presión diferencial 

Utiliza dispositivos que originan una presión diferencial debido al paso de un fluido por una restricción. La razón de hacer esto es que el caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de presiones entre dos puntos, antes y después de la restricción. 

Uno de estos elementos es la placa - orificio o placa perforada. Allí, el fluido sufre una disminución de su presión, la cual es mínima en el punto denominado "vena contracta". Si bien es cierto, la presión tiende a recuperarse, existe al final una pérdida de presión.

• Tubo Venturímetro.

Es un tipo de boquilla especial, seguido de un cono que se ensancha gradualmente, accesorio que evita en gran parte la pérdida de energía cinética debido al rozamiento. Es por principio un medidor de área constante y de caída de presión variable.

Este medidor reemplaza la medida del gasto por la medida de una diferencia de presiones. El medidor de Venturi consiste en dos troncos de cono unidos por un tubo y éste a su vez esta conectado a la conducción por otro tubo, este tubo contiene mercurio y constituye un manómetro diferencial que determina la diferencia de presiones entre esos dos puntos.

• Medidor de Orificio.

El medidor de Orificio es un elemento más simple, consiste en un agujero cortado en el centro de una placa intercalada en la tubería. El paso del fluido a través del orificio, cuya área es constante y menor que la sección transversal del conducto cerrado, se realiza con un aumento apreciable de la velocidad (energía cinética) a expensa de una disminución de la presión estática (caída de presión).



La placa de orificio es un dispositivo que permite medir el caudal de un fluido que pasa por una tubería. Consta de un disco con un orificio en el centro de este que se coloca perpendicular a la tubería.

Es un elemento de medición primario, pero es muy utilizado debido a su facilidad de uso, bajo precio, poco mantenimiento y gran eficiencia

El funcionamiento de una placa de orificio se basa en el efecto Venturi. Este consiste en un fenómeno que hace disminuir la presión de un fluido que atraviesa una tubería, y este aumenta su velocidad debido a una disminución del diámetro de la tubería.

Por lo tanto para medir el caudal del fluido, se colocan dos tomas una antes de la placa y otra después, que captan la presión diferencial que se genera debido al aumento de la velocidad. Luego a través del principio de Bernoulli se llega a que la diferencia de presión es proporcional al cuadrado del caudal.

• TUBO DE PITOT

Es uno de los medidores más exactos para medir la velocidad de un fluido dentro de una tubería. El equipo consta de un tubo cuya abertura está dirigida agua arriba , de modo que el fluido penetre dentro de ésta y suba hasta que la presión aumente lo suficiente dentro del mismo y equilibre el impacto producido por la velocidad. El Tubo de Pitot mide las presiones dinámicas y con ésta se puede encontrar la velocidad del fluido, hay que anotar que con este equipo se puede verificar la variación de la velocidad del fluido con respecto al radio de la tubería (perfil de velocidad del fluido dentro de la tubería).

• El tubo Annubar

El tubo Annubar es otra variante del tubo de Pitot, el cual posee varios agujeros para la toma de la presión de estancamiento, ubicados en diversos puntos a lo largo de la sección transversal del tubo. Todas estas tomas se unen en el interior del instrumento, de esta manera la presión de estancamiento medida será un promedio de la presión correspondiente a diversas velocidades sobre el perfil de velocidades del fluido.

Sin embargo tiene la desventaja de no poder utilizarse para determinar el perfil de velocidades.
La pérdida de carga que produce es pequeña y se emplean en la medida de pequeños y grandes caudales de líquidos y gases

MEDIDORES DE ÁREA VARIABLE

Lo que permanece constante es la presión diferencial, gracias a la suficiente variación del área. Uno de estos es el rotámetro el cual consta de un tubo cónico vertical que encierra un flotador; éste, dependiendo del caudal, toma una posición en el tubo que aumenta o disminuye el tamaño del área y así mantiene la presión constante. Una escala graduada dentro del tubo, estará calibrada en unidades de presión y así tener una lectura directa de la misma

• Rotámetros.

Es un medidor de caudal en tuberías de área variable, de caída de presión constante. El Rotámetro consiste de un flotador (indicador) que se mueve libremente dentro de un tubo vertical ligeramente cónico, con el extremo angosto hacia abajo. El fluido entra por la parte inferior del tubo y hace que el flotador suba hasta que el área anular entre él y la pared del tubo sea tal, que la caída de presión de este estrechamiento sea lo suficientemente para equilibrar el peso del flotador. El tubo es de vidrio y lleva grabado una escala lineal, sobre la cual la posición del flotador indica el gasto o caudal.

 MEDIDORES  DE CAUDAL MASA 

Caudalímetro Másico (Por el Principio de Coriolis).

Es el Medidor más Exacto para medir por Masa. Utiliza el Efecto Coriolis, por lo tanto es ideal para procesos delicados de Batcheo por Peso, o para Facturar Líquidos o Gases de alto precio que se venden por Kg., como el GNC, ya que su exactitud es independiente de Viscosidad, Temperatura y Densidad. Emite pulsos para medir Masa.

ELÉCTRICOS.

Caudalímetro Electromagnético.

Mide caudal instantáneo y volumen total. Opera perfectamente en cañerías parcialmente llenas. Resiste altas temperaturas hasta 180ºC, y altas presiones hasta 300 bar, líquidos abrasivos o erosivos, limpieza CIP y esterilización con vapor. No ofrece restricción al paso de líquidos conductores de la electricidad aun cuando son viscosos, sucios o arrastran sólidos en suspensión. Se fabrica desde ¾" a 40". Gran variedad de materiales para revestimiento interno y electrodos. Aptos para operación con paneles solares.

Caudalímetro Ultrasónico.

Un caudalímetro ultrasónico (caudalímetro Doppler no intrusivo) es un caudalímetro volumétrico que requiere partículas o burbujas en el flujo. El caudalímetro ultrasónico es ideal para aplicaciones de aguas residuales o cualquier líquido sucio que sea conductivo o a base de agua. En general, estos sensores no funcionan con agua destilada o agua potable. Se requerirán aireaciones en las aplicaciones de líquidos limpios. Los caudalímetros ultrasónicos también son ideales para aplicaciones en las que se requiere una baja caída de presión, compatibilidad química y bajo mantenimiento.

MEDIDORES DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO

Son el fundamento o la base de muchos elementos de control. El medidor de desplazamiento positivo es un instrumento sensible al flujo. Este responde a variaciones en el valor del flujo y responde a señales mecánicas correspondiente a la rotación del eje. Se aplican en las siguientes circunstancias: donde se encuentre un flujo grande, donde se requiere una respuesta directa al valor de la variación del flujo y donde la acción mecánica es necesaria.

USOS EN LA INDUSTRIA

La medición de flujo constituye tal vez, el eje más alto porcentaje en cuanto a medición de variables industriales se refiere. Ninguna otra variable tiene la importancia de esta, ya que sin mediciones de flujo, sería imposible el balance de materiales, el control de calidad y aún la operación de procesos continuos.

Existen muchos métodos para medir flujos, en la mayoría de los cuales, es imprescindible el conocimiento de algunas características básicas de los fluidos para una buena selección del mejor método a emplear. Estas características incluyen viscosidad, densidad, gravedad específica, compresibilidad, temperatura y presión.

En el entorno industrial, los caudalímetros magnéticos son los más frecuentes en instalaciones de gestión de aguas, en la industria de procesos, en el sector farmacéutico y en la industria alimentaria. Los caudalímetros magnéticos modernos son tan robustos que se pueden emplear en minería y construcción de túneles, en las condiciones ambientales más duras, en cualquier tipo de aplicación. Su uso rutinario típico comprende aplicaciones de medición y control de flujos continuos, de llenado y dosimetría y de medición en aplicaciones de Custody Transfer.

•         Permiten medir muchos fluidos acuosos: agua, aguas residuales, lodos, pulpas, pastas, ácidos, álcalis, zumos, puré de frutas, etc.
•          No pueden medir, por el contrario, ni líquidos no conductores, ni gases ni vapor.

DIAGRAMAS DE INSTALACIONES INDUSTRIALES

Medidores de área variable

Medidores Deprimógenos (Tubos Venturi, Toberas, Tubos Pitot, Placas de orificio, Tubos Annubar)

Descripción de los componentes

Parte	Componente	Función
1	Sensor de Temperatura	para medir la temperatura del vapor
2	Medidor de Caudal de Placa Orificio	para medir el caudal de vapor a la planta
3	Válvula de Aislamiento	para aislar el transmisor de presión diferencial del vapor
4	Válvula de Aislamiento	para aislar el transmisor de presión diferencial del vapor
5	Transmisor de Presión	para medir la presión del vapor
6	Transmisor de Presión Diferencial	para convertir la presión diferencial en una señal eléctrica
7	Procesador	para recibir las señales y visualizar el caudal

EJEMPLO DE APLICACIÓN EN UN SISTEMA DE CONTROL OPERATIVO

Ejemplo de aplicación N° 1 – Agua / Aguas residuales:

Los caudalímetros magnéticos tienen dos áreas de aplicación principales en la industria de gestión de aguas:

– Tratamiento y distribución de agua potable a los consumidores (instalaciones acuáticas, usuarios domésticos, etc.).

– Control de recolección de aguas (tanto residuales como agua de lluvia) para su purificación en plantas de tratamiento de aguas de deshecho para su devolución responsable al medio.

Las leyes y normativas aplicables al control de aguas en sistemas de agua potable, sistemas de alcantarillado y plantas de tratamiento de agua son cada vez más estrictas, y el seguimiento detallado de las aguas desde su fuente hasta el consumidor es esencial. Los caudalímetros magnéticos son la elección ideal para la medición en varios puntos en estos sistemas y ayudan a identificar y reducir los puntos de fuga.

EJEMPLO:

El operario de la planta de tratamiento de aguas residuales de un complejo industrial quiere medir el volumen de aguas residuales que entran en la planta. Para ello, el operario necesita información acerca de los aspectos siguientes:

• – Control de los flujos de entrada, de modo que la gestión del proceso se pueda optimizar en tiempo real.
• – Control de volúmenes para cada fuente individual, de modo que los servicios suministrados por la planta de tratamiento de aguas residuales puedan ser localizados y facturados al cliente de acuerdo con su uso.

Solución:

En cada acometida se instala un caudalímetro magnético entre el local del usuario y el colector general. Los caudales que registra cada caudalímetro magnético se transmiten por medio de señales eléctricas al control de la planta de tratamiento. Cada caudalímetro envía además un impulso de señal eléctrica con el recuento del consumo total de agua (la descarga de agua). Los Caudalímetros magnéticos de peso y tamaño aprobados como los de E+H se emplean ampliamente en la gestión del suministro de aguas para servicios de facturación a clientes comerciales.

BIBLIOGRAFIA.

http://www.spiraxsarco.com/global/mx/search/pages/Results.aspx?k=caudalimetro
http://www.spiraxsarco.com/global/mx/Capabilities/Pages/Examples-of-Typical-Solutions/flowmetering/orifice-plate/orifice-plate-flowmeter-and-flow-computer-with-density-compensation.aspx

https://sites.google.com/site/automatizacionycontrol4/medidas-de-caudal/medidores-deprimogenos

https://es.wikipedia.org/wiki/Caudal%C3%ADmetro

http://tarwi.lamolina.edu.pe/~dsa/Medidores.htm

http://www.investigacion.frc.utn.edu.ar/sensores/Caudal/Principios/Caudal_Sensores.pdf

http://tarwi.lamolina.edu.pe/~dsa/Medidores.htmhttp://campus.fi.uba.ar/mod/resource/view.php?id=14014